Grundlagen 📐

Funktionen

Komponenten von Funktionen

• Die Definitionsmenge D ist die Menge aller x, für die die Abbildung definiert ist. Für jedes $x \in D$ muss es ein entsprechendes Bild $f(x)$ geben. Die Wertemenge W ist eine Menge, in der alle Bilder $f(x)$ enthalten sind. Allerdings muss nicht jedes Element von W das Bild eines Elements der Definitionsmenge sein.
• Die Abbildungsvorschrift schließlich gibt an, wie man von einem $x \in D$ zu dem entsprechenden $f(x) \in W$ kommt.
• In Kurzform notieren wir eine Abbildung als $f:D \rightarrow W$ , d. h., f bildet die Elemente von D nach W ab.
• $f:D \to \mathbb{R}$ nennt man reellwertige Funktionen

Grenzwerte

• Definiert als $\lim_{x \to x_0} f(x) = y$

Vektoranalysis

• Skalarfeld: Ordnet jedem Punkt eines Definitionsbereich einen Wert zu (Skalarfunktionen $f:D \to \mathbb{R}$)
• Vektorfeld: Ordnet jedem Punkt eines Definitionsbereich einen Vektor zu (Vektorwertige Funktionen $f:D \to \mathbb{R}^n$)

Integrieren

• Was beim Ableiten die Kettenregel ist, bezeichnet man beim Integrieren als Substitutionsregel

• Beispiel: $\int x * \sqrt{x+1}^3dx$

  1. Den substituierenden Term bestimmen $u=\sqrt{x+1}$
  2. Gleichung nach $x$ auflösen $x=u^2-1$
  3. Gleichung ableiten $\phi'(u)=2u$
  4. Substituieren $F(x)=\int x * \sqrt{x+1}^3dx \to F(u)=\int (u^2-1)*u^3 * 2udu$ $F(u)=2*\int (u^6-u^4)du$
  5. Integrieren $F(u)=\frac{2}{7}u^7-\frac{2}{5}u^5+C$
  6. Rücksubstitution $F(x)=\frac{2}{7}\sqrt{x+1}^7-\frac{2}{5}\sqrt{x+1}^5+C$

Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren

• Eigenwerte $\lambda$ sind die Werte um die Eigenvektor $\vec{x}$ bei der Multiplikation mit einer Matrix gestreckt/gestaucht werden. $A\vec{x}=\lambda \vec{x}$
• Berechnung Eigenwerte: $det(A-\lambda E)=0$
• Also zieht man $\lambda$ von den Werten der Hauptdiagonale der Matrix ab und rechnet die Determinante (= charakteristische Polynom) aus
• Oft ist ein Eigenwert 0 oder einer der Werte der Hauptdiagonale
• Berechnung Eigenvektoren: $(A-\lambda E)\vec{x}=0$

Determinante

• Die Determinante einer Matrix A gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten zusammengesetzten Geometrie skaliert, wenn diese durch die Matrix A abgebildet wird. Ist die Determinante negativ, so ändert sich zusätzlich die Orientierung der Eckpunkte
• $2 \times 2$ Matrix: $det(A)= \left\{\begin{array}{lr} a & b\\ c & d\\ \end{array}\right\} = ad-bc$

Analysis

Topologie, Stetigkeit

Offene Mengen

• Wir verwenden in der mehrdimensionalen Analysis offene Mengen, da wir somit sicherstellen können, dass alle Punkte differenzierbar sind.
• Offene Menge bedeutet, dass jeder Punkt in einem Intervall mit zwei offenen Enden ist ]a;b[ und somit immer ein gewisser Abstand zum Rand existiert. Nur wenn dieser Abstand zum Rand existiert, kann man den Punkt "etwas bewegen" und differenzieren
• $\mathbb {R}$ selbst ist offen.
• Leere Mengen sind offen
• Jede offene Kugel ist eine offene Menge
• Schreibweise für mehrdimensionale Funktionen: $f:D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$

Stetigkeit

• Intuition: In einer ersten Annäherung sind stetige reelle Funktionen ohne Lücken im Definitions- bereich solche Funktionen, deren Graph, sich ohne abzusetzen, mit dem Bleistift hinma- len lässt. Die wesentliche Eigenschaft stetiger Funktionen ist die, dass der Graph keine Sprünge machen darf
• Allgemein: Hinreichend kleine Änderungen des Arguments ziehen nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich
• Definition: Eine Funktion $f:D \rightarrow W$ heißt an der Stelle $\hat{x} \in D$ stetig, falls $\lim_{x \to \hat{x}} f(x) = f(\hat{x})$. Ist $f$ an jedem $x \in D$ stetig, so heißt $f$ auf $D$ stetig
• Jedes Polynom, jede rationale Funktion, jede Potenzfunktion, jede transzendente Standardfunktion ist auf $\mathbb{C}$ eine stetige Funktion
• Bei mehrdimensionalen Funktionen reicht es nicht aus, sich nur die eindimensionalen Grenzwerte anzuschauen
• Um Unstetigkeit nachzuweisen, braucht man nur eine Folge, die $\lim_{x \to \infin} f(x^k) \neq f(\hat{x})$
• Um Stetigkeit nachzuweisen, ...

Partielle Ableitungen

Partielle Differenzierbarkeit

• Definition: $f_{xk}(\tilde{x})=\frac{\partial f}{\partial x_k}(\tilde{x})=\frac{\partial f}{\partial e_k}(\tilde{x})=\lim_{h \to 0} \frac{f(\tilde{x}+he_k)-f(\tilde{x})}{h}$ = Differenzen-Quotienten

• Die Funktion $f$ heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt alle partiellen Ableitungen existieren.

• Sie heißt stetig partiell differenzierbar,falls alle partiellen Ableitungen stetige Funktionen sind. ​​

• Aus partieller Differenzierbarkeit folgt nicht die Stetigkeit, sondern nur Stetigkeit in Richtung der Koordinatenachsen.

• Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt keine totale Differenzierbarkeit.

• Ist $f$ total differenzierbar, dann ist es auch partiell differenzierbar.

• Ist $f$ stetig partiell differenzierbar, so ist $f$ auch total differenzierbar.

• Stetig partiell differenzierbar => Total differenzierbar => Partiell differenzierbar

• Beispiel: Partiell differenzierbar, aber nicht stetig

  $$f_1(x,y) = \left\{\begin{array}{lr} \frac{2xy}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0)\\ \end{array}\right\} \\ f_1(x,0) = 0 \\ f_1(0,y) = 0 \\ \downarrow \\ \frac{\partial f_1}{\partial x} = 0 ; \frac{\partial f_1}{\partial y} = 0 \\ \text{Funktion ist an der Stelle (0,0) partiell differenzierbar} \\ f_1(t,t)=1 \\ \text{Die Funktion ist jedoch bei (0,0) nicht stetig}$$

• Beispiel: Partielle Ableitung im Ursprung bestimmen

  $$f(x,y) = \left\{\begin{array}{lr} \frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y) \neq (0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0)\\ \end{array}\right\} \\ \frac{\partial f}{\partial x}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}(\frac{h*0}{h^2+0}-0)=\lim_{h \to 0}0=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}(\frac{0*h^2}{0+h^4}-0)=\lim_{h \to 0}0=0 \\ gradf(0,0)=0$$

Richtungsableitung 👉

• Definition: $D_vf(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+hv)-f(x_0)}{h}$ bzw. $D_vf(x_0)=grad(f)(x_0) \cdot v$
• Vektor muss normiert sein!
• Partielle Ableitungen sind nur Spezialfälle von Richtungsableitungen (Änderung entlang einer Koordinatenrichtung)

$C^k$-Funktionen

• k-mal stetig differenzierbare Funktion, d.h., die betreffende Funktion ist k-mal differenzierbar, und alle k-ten partiellen Ableitungen sind noch stetig
• Glatte Funktion ($C^\infin$): Funktion, die unendlich oft differenzierbar ist

Satz von Schwarz 🃏

• Besagt, dass bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden, nicht entscheidend für das Ergebnis ist

Differentialoperatoren

Gradient

• Spaltenvektor, dessen Einträge die ersten partiellen Ableitung der Funktion $f$ nach den $n$ verschiedenen Variablen an der Stelle $x_0$ sind.
• Der Gradient zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs

Divergenz

• Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld, das an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung des Punktes auseinanderstreben
• Die Divergenz ist das Skalarprodukt des Nabla-Operators $\nabla$ mit dem Vektorfeld ${\vec {F}}$.

Rotation 🚨

• $rot{\vec {F}}=\nabla \times {\vec {F}}$

Laplace-Operator

• Beschreibt die Divergenz des Gradientenfeldes einer skalarwertigen Funktion
• $\Delta f=div(grad(f))$ bzw. $\Delta f=\nabla \cdot (\nabla f)$

Hesse-Matrix

• Matrix der zweiten partiellen Ableitungen

Cauchy-Schwarz Ungleichung

• Absoluter Wert des Skalarprodukt zweier Vektoren ist kleiner gleich dem Produkt der Längen der Vektoren
• $\lvert\vec{a} \cdot \vec{b} \rvert \leq \left\lVert a \right\rVert * \left\lVert b \right\rVert$

Ableitungen vektorwertiger Funktionen 🏹

Jacobi-Matrix

• Bei $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ können die Ableitungen mit dem Spaltenvektor $\nabla f$ ausgedrückt werden
• Bei $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ benutzen wird die Jacobi Matrix
• Jacobi Matrix hat die Form $m \times n$ ($m$ = Anzahl der Spalten, $n$ = Anzahl der Zeilen)
• Die erste Zeile der Jacobi Matrix ist der transponierte Gradient

Differenzierbarkeit

• Totale Differenzierbarkeit: Eine Funktion $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ist dann im Punkt $\tilde{x}$ differenzierbar, wenn es eine $(m \times n)$ Matrix $A$ gibt, dass man in der Form $f(x)=f(\tilde{x}+A(x-\tilde{x})+r(x)$ schreiben kann und der Fehlder $r$ von höherer als erster Ordnung verschwindet, $\lim_{x \to \tilde{x}}\frac{\left\lVert r(x) \right\rVert}{\left\lVert x-\tilde{x} \right\rVert}=0$
• Andere Schreibweise: $\lim_{h \to 0}\frac{|f(x+h)-f(x)-A_xh|}{|h|}=0$
• Diese Formel ergibt sich durch umstellen des gewöhnlichen Differenzenquotienten. Dort ist $A$ = $a$ = $\frac{\part f}{\part x}$, bei uns ist das aber eine Matrix, nämlich die Jacobi Matrix
• Der Fehler kommt hinzu, da bei der Umstellung sonst die Aussage nur ungefähr gelten würde $f(x)\approx f(\tilde{x}+A(x-\tilde{x})$

Mittelwertsatz und Satz von Taylor

Mittelwertsatz

• $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ stetig und (a,b) differenzierbar, dann $\exists x_0 \in (a,b)f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
• Es existiert dann also mit ein Punkt zwischen a und b, dessen Tangente gleich der Sekantensteigung ist

Konvexe Mengen

• Anschaulich bedeutet konvex: ohne Löcher oder Einbuchtungen. Mathematisch lässt sich diese Forderung folgendendermaßen ausdrücken: Eine Menge M heißt konvex, wenn mit je zwei beliebigen Elementen a und b aus M auch ihre Verbindungsstrecke zu M gehört 🧀

Satz von Taylor

• Taylor Polynom: $f(x) \approx T_{a,n}(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{\left(k\right)}(a)}{k!}*(x-a)^k+R_n(x)$

• $R_n(x)$ ist das Lagrange-Restglied

• Taylorpolynom aufstellen:

  1. Bestimme die ersten $n$ Ableitungen der Funktion $f$
  2. Berechne deren Werte an der Stelle $a$
  3. Schreibe die einzelnen Summanden deiner Summe (für k=0,1,…,n) auf und setze die entsprechenden Werte für die Ableitungen, Fakultäten und die Potenzen von (x−a) ein
  4. Vereinfachen

• Das Taylorpolynom ist eine Näherung für Funktionswerte von $f$ in der Nähe vom Entwicklungspunkt $a$. Taylorpolynome sind nur eine lokale Näherung. Dass heißt der Ausdruck den wir bestimmen funktioniert nur in einem bestimmten Bereich als Näherung - das ist der Bereich um den Entwicklungspunkt.

Extremwertprobleme ⛰

Beschränkte und kompakte Mengen

• Eine Menge von Punkten heißt beschränkt, wenn sie eine Teilmenge einer offenen Kugel ist
• Quader ✅ vs. Gerade 🚫
• Eine Menge heißt kompakt, wenn sie beschränkt und abgschlossen ist
• $\mathbb{R}[0,1],\mathbb{R}^2[a,b] \times[c,d], ...$ ist kompakt
• $\mathbb{R}[0,\infin)$ ist abgeschlossen, aber nicht beschränkt
• $\mathbb{R}[0,1)$ ist beschränkt, aber nicht abgeschlossen
• $\varnothing$ und $\mathbb{R}^n$ sind offen und abgeschlossen

Satz von Minimum und Maximum

• $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ stetig, dann hat $f$ auf $[a,b]$ ein Minimum und ein Maximum

Operatornorm

• Die Operatornorm gibt eine Schranke dafür an, wie stark eine lineare Abbildung die Einheitskugel deformiert. Die Operatornorm ist der kleinste Radius eines Balles, der das Bild der Einheitskugel unter dem Operator erhält. Je größer die Operatornorm, desto stärker deformiert der Operator.

Globale und lokale Maxima und Minima

• Punkte, in denen der Gradient verschwindet, nennt man stationäre Punkte
• Notwendiges Kriterium: $\nabla f = 0$, alle ersten Ableitungen müssen also für einen Punkt $x$ gleich 0 sein
• Nullstellen finden durch Faktorisierung (also ein x rausziehen), Additionsverfahren oder Umstellen & Einsetzen
• Hinreichendes Kriterium: $\nabla^2f(x_E,y_E)$

• Hauptminor: Determinate einer Untermatrix
• Hängt die Hesse Matrix schon vor dem Einsetzen der Stellen nicht mehr von den Variablen ab, so handelt es sich um globale Minima bzw. Maxima

Extremstellen mit Rand

• Bei einer Betrachtung mit Rand muss zusätzlich zum normalen Verfahren noch die Lagrange Funktion gebildet werden mit dem Rand als Nebenbedingung
• $x \in \mathbb{R}^2:||x|| = 1$ ist ein Einheitskreis, für den gilt $x_1^2+x_2^2=1^2$

Extremstellen mit Nebenbedigungen

• Wenn eine Funktion stetig und die zu untersuchte Menge kompakt ist, folgt die Existenz von globalen Minima und Maxima von $f$ auf $K$

Umstellen und Einsetzen

• Diese Methode funktioniert nur, wenn man die Nebenbedingung eindeutig umstellen kann. $y^2=3x^3$ würde also nicht gehen, da hier zwei Möglichkeiten für die Wurzel existieren. Ungleichungen würden auch nicht funktionieren
• Schritt 1: Nebenbedingungen nach einer Variable aufstellen
• Schritt 2: Umgestellte Nebenbedingungen in Zielfunktion einsetzen
• Schritt 3: Ableitung der Zielfunktion und Nullstellen finden

Lagrange (Beispiel) 🥐

• $f(x,y)=xy$
• $g(x,y)=x^2+y^2-1$
• Lagrange Funktion aufstellen: $L(x,y)=xy+\lambda (x^2+y^2-1)$
• I: $\frac{\part L}{\part x}=y+2\lambda x=0$
• II: $\frac{\part L}{\part y}=x+2\lambda y = 0$
• III: $\frac{\part L}{\part \lambda}=x^2+y^2-1=0$
• Gleichungen so multiplizieren, dass $\lambda$ wegfällt, also bei uns $\frac{\part L}{\part x} * y - \frac{\part L}{\part y} * x$
• Gleichung nach einer Variable auflösen und in III einsetzen
• Maxima und Minima ergeben sich durch Einsetzen der Punkte in die Zielfunktion

Determinantenmethode (Beispiel)

• $f(x,y,z)=(x-1)^2+y^2+z^2$
• $g(x,y,z)=x+y-z^2+1=0$
• $\begin{vmatrix}f_x & g_x \\ f_y & g_y\end{vmatrix} = 2(x-1)-2y = 0$
• $y=x-1$
• $\begin{vmatrix}f_x & g_x \\ f_z & gzy\end{vmatrix} = 2z*(2x-1) = 0$
• Fall 1: $z=0$
• $y=x-1$ in NB $x+x-1+1=0$
• $x=0,y=-1$
• Fall 2: $2x-1=0$
• $y = ½ -1$
• Aus NB: $z_1,2=\pm 1$
• $P_1(0,-1,0),P_2(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1),P_3(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1)$

Umkehrsatz ↩️

Voraussetzung

• $det(Jf) \ne 0$

Umkehrfunktion bestimmen (Beispiel)

• $F(x,y)=(x^2,xy^3)$
• Teilfunktionen bestimmen
• $f_1(x,y)=x^2,f_2(x,y)=xy^3$
• Für $F^{-1}(u,v)$ muss gelten $u=x^2, v=xy^3$
• Umstellen: $x=\sqrt{u}, y=\sqrt[3]{\frac{v}{\sqrt{u}}}$
• $F^{-1}=(\sqrt{u},\sqrt[3]{\frac{v}{\sqrt{u}}})$

Jacobi Matrix der Umkehrfunktion

• $J^{-1}=\frac{1}{det(J_f)}(J^{adj})^T$

Integration

Satz von Fubini 🍝

• Voraussetzung: $f$ ist nach $\mathbb{R}$ integrierbar (ist integrierbar, wenn die Funktion stetig und beschränkt auf D)
• $Q_1 := {(x, y) ∈ \mathbb{R}^2 : 0 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4}$
• $\int_{Q_1}(2x+3y)d(x,y)$
• $\int_{Q_1}(2x+3y)d(x,y)=\int_3^4(\int_0^2(2x+3y)dx)dy$
• $=\int_3^4([x^2]_0^2+[3yx]_0^2dx)dy$
• $=\int_3^4(4+6y)dy$
• $=25$

Transformationen

• Prüfen ob Integrationsbereich eine berühmte runde geometrische Figur ist (Kreis, Zylinder, ...). Wenn ja, dann kann man die Integration mittels Transformation vereinfachen
• Transformation: Substitution mit mehreren Variablen
• $\int_Df(x)dx=\int_Bf(ψ(y))|det ψ'(y) |dy$
• Polarkoordinaten: $ψ(r,φ)= \begin{pmatrix} r*cosφ \\ r*sinφ\end{pmatrix}$
• $det\frac{\part (x_1,x_2)}{\part (r,φ)}=r$
• $D = {x \in \mathbb{R}^2 | x_1 > 0, 1 < x_1^2 + x_2^2 < 4}$ ➡️ $e$

Newton Verfahren 🍎

Allgemeines

• Näherungslösung für schwere Gleichungssysteme
• Iterationsvorschrift: $x_{n+1}=x_n-(J_f(x_n))^{-1}f(x_n)$
• Invertierung der Jacobi Matrix ist sehr aufwändig, einfacher deshalb $(J_f(x_0))^{-1}$

Verfahren

• Startwert $x_0$ raten
• Iterationsvorschrift anwenden

$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$

• $f(x)=(f(x,y),g(x,y))^T$
• $\begin{pmatrix} \part(f,g) \\ \part(x,y) \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{\begin{vmatrix} \part(f,g) \\ \part(x,y) \end{vmatrix}} \begin{pmatrix} g_y & -f_y \\ -g_x & f_x \end{pmatrix}$

Stochastik

Axiome und Ableitungen

• Summenformel: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

Kombinatorik

Permutationen 💺

• Anordnung von $n$ Objekten, Reihenfolge wichtig

• Ohne Elemente, die sich wiederholen: $n!$

  • Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es 4 Leute auf 4 Stühle zu verteilen? (Alle Leute sind unterscheidbar)
  • 4 3 2 1 = $4*3*2*1=24$

• Mit Elementen, die sich wiederholen: $\frac{n!}{n_1!*n_2!*...*n_k!}$

  • Beispiel: Wie viele verschiedene sechsziffrige Zahlen gibt es, die zweimal die 1, dreimal die 2 und einmal die 4 enthalten?
  • 1 gibt es zwei mal: $n_1=2$
  • 2 gibt es drei mal: $n_1=3$
  • 4 gibt es einmal mal: $n_1=1$
  • $\frac{6!}{2!*3!*1!}=60$

Kombinationen 🍫 🐶

• Auswahlen von $k$ aus $n$ unterscheidbaren Objekten, die Reihenfolge ist unwichtig

• Ohne Elemente, die sich wiederholen: ${n\choose k}$

  • Vor Ihnen liegt eine Schachtel mit 10 verschiedenen Schokoladenpralinen. Sie dürfen sich 5 davon aussuchen. Die Reihenfolge, in der Sie wählen, spielt keine Rolle (Sie dürfen hinterher alle essen). Wie viele verschiedene Kombinationen können Sie wählen?
  • ${10\choose 5}=252$

• Mit Elementen, die sich wiederholen: ${n-1+k\choose k}$

  • Franziska hat vier kleine (nicht unterscheidbare) Welpen. Wenn sie aufgeschreckt werden, sucht sich jeder einen Platz unter einem der sechs Esszimmerstühle. Wie viele unterschiedliche Verteilungen der vier Welpen kann Franziska beobachten?
  • $n = 6$ und $k=4$
  • ${6-1+4\choose 4}=126$

Variationen 🏇 ⚽️

• Auswahlen von $k$ aus $n$ unterscheidbaren Objekten, die Reihenfolge ist wichtig

• Ohne Elemente, die sich wiederholen: $\frac{n!}{(n-k)!}$

  • Bei einem Pferderennen nehmen 10 Pferde teil. Nur die ersten drei Plätze werden prämiert. Auf wie viele verschiedene Arten kann sich die "Top 3" zusammensetzen?
  • $\frac{10!}{(10-3)!}=720$

• Mit Elementen, die sich wiederholen: $n^k$

  • Beim Fußballtoto kann bei jedem der elf Spiele eine 1 (Heimmannschaft gewinnt), eine 0 (Unentschieden) oder eine 2 (Gastmannschaft gewinnt) angekreuzt werden. Wie viele verschiedene Tippmöglichkeiten gibt es?
  • $3^{11}=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3 = 177.147$

Wahrscheinlichkeiten 🎲

Abhängigkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit

• $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• Berechnung der Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
• $P(A|B)$ kann als relative Häufigkeit der Ereignisse $A$ in der Gesamtheit der Ereignisse, in denen $B$ eingetreten ist, interpretiert werden

Totale Wahrscheinlichkeit

• Seien die $A_i$ disjunkt mit $\bigcup_{i \in I} A_i = \Omega$
• Sei $B$ ein beliebiges Ereignis
• $P(B)=\Sigma_{i \in I}P(A_i)*P(B|A_i)$

Bayes

• Formel von Bayes: $P(A|B)=\frac{P(B | A)}{P(B)}*P(A)$

• $P(A|B)$ ist die a posteriori Wahrscheinlichkeit

• $P(A)$ ist die a priori Wahrscheinlichkeit

• Satz von Bayes: $P(A_j|B)=\frac{P(B|A_j)}{\Sigma_{i \in I}P(B|A_i)*P(A_i)}*P(A_j)$

  • Beispiel: Eine Firma kauft 70% ihrer Bauteile vom Lieferanten L1 und 30% vom Lieferanten L2, die jedoch mit un- terschiedlichen Qualitäten arbeiten. Ein Bauteil von L1 führt mit Wahrscheinlichkeit von 5 % zu einer Beanstandung (B), da- gegen werden 10% der Teile von L2 beanstandet. Bei einer Qualitätsprüfung versagt ein Teil. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt dieses Teil vom Lieferanten L1?
  • $P(L_1)=0.7$
  • $P(L_2)=0.3$
  • $P(B|L_1)=0.05$
  • $P(B|L_2)=0.1$
  • $P(L_1|B)=\frac{P(B|L_1)}{P(B|L_1)P(L_1)+P(B|L_2)P(L_2)}*P(L_1)$
  • $P(L_1|B)=\frac{0.05}{0.05*0.7+0.1*0.3}*0.7=0.53846$

Sensitivität und Spezifität 💉

• $A^+:$ Patient hat Krankheit

• $A^-:$ Patient hat keine Krankheit

• $B^+:$ Befund ist positiv (Patient hat Krankheit)

• $B^-:$ Befund ist negativ (Patient hat keine Krankheit)

• $P(B^+|A^+):$ Sensitivität

• $P(B^-|A^-):$ Spezifität

• $P(A^+):$ Prävalenz

  

Unabhängigkeit

• Die Ereignisse $A$ und $B$ heißen unabhängig, wenn $P(A \cap B)=P(A) * P(B)$

  • Beispiel: Würfeln
  • A = Augenzahl größer gleich 5 $P(A)=\frac{2}{6}$
  • B = Augenzahl ist gerade $P(B)=\frac{3}{6}$
  • $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$
  • Die Ereignisse sind also unabhängig

Zufallsexperimente, Erwartungswert & Varianz

Zufallsvariable 🪙

• Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, also eineBeziehung zwischen 2 Mengen

• $X$ ordnet jedem Ergebnis $\omega$ des Ergebnisraums $\Omega$ genau eine Zahl $x$ der Menge der reelen Zahlen $\mathbb{R}$ zu, also $X:\Omega \to \mathbb{R}$

• $y=f(x)$ also $x=X(\omega)$

• Sei $(\Omega , P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Zufallsvariable ist dann die Funktion $X: \Omega \to \mathbb{R}$

  • Beispiel: Dreimal Münzwurf
  • $\Omega = \{ K,Z \}^3=\{ ZZZ,ZZK;ZKZ,ZKK,KZZ,KZK,KKZ,KKK \}$

• Verteilung einer Zufallsvariable X ist das Wahrscheinlichkeitsmaß $P_X$ auf $X(\Omega) \in \mathbb{R}$

• $X(\Omega)$ ist das "Bild von $\Omega$"

• $X_1$ ist eine zufällige Variable und $2$ die Realisation von $X_1$. Die Aussage $"X_1 = 2"$ ist eine Abkürzung für "Die Realisation $2$ von $X_1$ ist eingetreten oder wird eintreten”

Diskrete Zufallsvariable

• Ensteht im Abzählvorgang
• Wahrscheinlichkeitsfunktion $f(x)=P(X=x)$
• Verteilungsfunktion $F(X)=P(X\leq x )$

Stetige Zufallsvariable

• Entsteht im Messvorgang
• Dichtefunktion: $F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infin}^xf(u)du$
• $f(x)\neq P(X=x)$
• Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable $X$ einen bestimmten Wert $x$ annimmt ist stets Null
• Verteilungsfunktion $F(X)=P(X\leq x )$

Wahrscheinlichkeitsfunktion

• Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist nur für diskrete Zufallsvariablen definiert

• Eine Funktion $f$, die jedem $x$ einer Zufallsvariablen $X$ genau ein $p$ aus $[0;1]$ zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion

• $f:x \to p$

• Beispiel: Münzwurf (2 mal)

  • 2x Zahl, -2€
  • 1x Kopf, +1€
  • 2x Kopf, +2€
  • $\Omega = \{ZZ;ZK;KZ;KK\}, |\Omega|=4$
  • Die Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis $\omega$ seinen Gewinn $x$ zu
  • Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Gewinn $x$ seine Wahrscheinlichkeit $p$ zu
  • Für $X=-2$ ist $E_1(X=-2)=\{ZZ\} \to |E_1|=1$
  • $P(X=-2)=\frac{|E_1|}{|\Omega|}=0,25$
  • 2x Zahl, -2€ $\to w_1=\{ZZ\}, x_1=-2 \to P(X=x_1)=0,25$
  • 1x Kopf, +1€ $\to w_2=\{ZK;KW\}, x_2=+1 \to P(X=x_2)=0,5$
  • 2x Kopf, +2€ $\to w_3=\{KK\}, x_3=+2 \to P(X=x_3)=0,25$

Unabhängigkeit

• $X$ und $Y$ sind unabhängig, wenn $P(X \leq x \ \cap \ Y \leq y) = P(X\leq x) * P(Y \leq y)$

Erwartungswert

• Erwartungswert ist der Schwerpunkt der Verteilung

• $E(X)=\mu_X=\sum\limits_{n=1}^{\infin}x_n*P(X=x_n)$

• Beispiele

  • Erwartungswert der Augenzahl beim Wurf eines Würfels: $1*\frac{1}{6}+2*\frac{1}{6}+3*\frac{1}{6}+4*\frac{1}{6}+5*\frac{1}{6}+6*\frac{1}{6}=3,5$
  • Setzen auf eine Zahl beim Roulette, Einzahlung von 1€, Gewinn von 36€: $35*\frac{1}{36}-1*frac{35}{36}=-0,03$

• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$, egal ob $X$ und $Y$ abhängig oder unabhängig

• Wenn $E(X*Y)=E(X)*E(Y)$, dann sind $X$ und $Y$ unkorreliert, d.h. $Cov(X,Y)=0$

Varianz

• Die Varianz gibt an, wie viel X vom Erwartungswert abweicht

• $Var(X)=\sigma^2=E((X- \mu)^2)$

• $Var(X)=\sigma^2=\sum\limits_{n=1}^{\infin}(x_n-\mu_n)^2*P(X=x_n)$

• Verschiebesatz: $Var(X)=E(X^2)-\mu^2$

• Beispiel: Würfeln

  • Ohne Verschiebsatz: $Var(X)=(1-3,5)^2*\frac{1}{6}+(2-3,5)^2*\frac{1}{6}+(3-3,5)^2*\frac{1}{6}+(4-3,5)^2*\frac{1}{6}+(5-3,5)^2*\frac{1}{6}+(6-3,5)^2*\frac{1}{6}=2,92$
  • Mit Verschiebesatz: $Var(X)=[1^2*\frac{1}{6}+2^2*\frac{1}{6}+3^2*\frac{1}{6}+4^2*\frac{1}{6}+5^2*\frac{1}{6}+6^2*\frac{1}{6}]-3,5^2=2,92$

• $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2*Cov(X,Y)$

• Standardabweichung: $\sigma := \sqrt{Var(x)}$

Kovarianz und Korrelationskoeffizient

• $Cov(X,Y)=\rho(X,Y)=\sigma_{xy}=E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y))$
• $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)$
• Sind zwei Variablen $X$ und $Y$ unabhängig, so sind sie auch unkorreliert

Jensen-Ungleichung

• Ist $g(x)$ eine reelle Funktion, dann ist

  • $E(g(X)) \geq g(E(X))$, falls $g(x)$ konvex ist
  • $E(g(X)) \leq g(E(X))$, falls $g(x)$ konkav ist

Indikatorfunktion

• Sei $(\Omega,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $A \sub \Omega$
• $I_A: \Omega \to \{ 0,1 \}, I_A(\omega)= \begin{cases} 1 & ,falls \ \omega \in A \\ 0 &, sonst \end{cases}$
• $E(I_A)=\sum\limits_{\omega \in \Omega} P(\omega)*I_A(\omega)=\sum\limits_{\omega \in A} P(\omega)=P(A)$
• $I_{A \cap B}=I_A * I_B$
• $I_A^2=I_A$

Wichtige diskrete Verteilungen

Gleichverteilung

• Zum Beispiel beim Wurf eines idealen $n$-seitigen Würfels
• $P(X=x)=\begin{cases} \frac{1}{n} && x=x_i,i \in \{1,...,n\} \\ 0 && sonst \end{cases}$
• $E(X)=\frac{(n+1)}{2}$
• $Var(X)=\frac{n^2-1}{12}$

Bernoulli Verteilung und Binomialverteilung 🐻 0️⃣

• Bernoulli Variable kann nur die Werte $0$ und $1$ annehmen
• Binomialverteilung bei mehrfacher unabhängiger Wiederholung (für $n=1$ heißt die Verteilung Bernoulli Verteilung)
• Urnenmodell mit Zurücklegen, Anteil der roten Kugel mit $p$
• $P(X=k)={n \choose k} * p^k * (1-p)^{n-k}$
• $E(X)=n*p$
• $Var(X)=n*p*(1-p)$
• Interessiert man sich für die Zahl der Misserfolge bis zum ersten Erfolg bei wiederholten Bernoulli Experimenten, so benutzt man die geometrische Verteilung

Poisson Verteilung 🐟